Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中點(diǎn)，AD=CD=1，DB=2

2

（Ⅰ）求證：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直線BC與平面PBD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）設(shè)AC∩BD=H，連結(jié)EH，由三角形中位線定理得EH∥PA．由此能證明PA∥平面BDE．
（II）由線面垂直得PD⊥AC，由（I）得，DB⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）由AC⊥平面PBD知，∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角．由此能求出直線BC與平面PBD所成的角的正弦值．

解答： （I）證明：設(shè)AC∩BD=H，連結(jié)EH．
在△ADC中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分∠ADC，
所以H為AC的中點(diǎn)．又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，
故EH∥PA．又EH?平面BDE，PA不包含于平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
（II）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
由（I）得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．
（Ⅲ）解：由AC⊥平面PBD知，
BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影，
所以∠CBH為直線BC與平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2

2

，
得DH=CH=

2

2

，BH=

3 2

2

，BC=

5

，
在Rt△BHC中，sin∠CBH=

CH

BC

=

3 2 2

5

=

3 10

10

，
所以直線BC與平面PBD所成的角的正弦值為

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．