Question

【題目】為了解人們對城市治安狀況的滿意度，某部門對城市部分居民的“安全感”進行調查，在調查過程中讓每個居民客觀地對自己目前生活城市的安全感進行評分，并把所得分作為“安全感指數(shù)”，即用區(qū)間[0，100]內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近100表示安全感越高．現(xiàn)隨機對該地區(qū)的男、女居民各500人進行了調查，調查數(shù)據(jù)如表所示：

安全感指數(shù)	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
男居民人數(shù)	8	16	226	131	119
女居民人數(shù)	12	14	174	122	178

根據(jù)表格，解答下面的問題：
（Ⅰ）估算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指數(shù)不小于60，則認為其安全感好．為了進一步了解居民的安全感，調查組又在該地區(qū)隨機抽取3對夫妻進行調查，用X表示他們之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的對數(shù)，求X的分布列及期望（以樣本的頻率作為總體的概率）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，計算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值為 10×0.02+30×0.03+50×0.4+70×0.253+90×0.297=65.54；
（Ⅱ）男居民安全感好的概率為 ，
女居民安全感好的概率為 ，
故一對夫妻都安全感好的概率為0.5×0.6=0.3；
因此X的可能取值為0，1，2，3，
且X～B（3，0.3）；
于是 ；
X的分布列為

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

∴數(shù)學期望為E（X）=np=3×0.3=0.9．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，計算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值即可（Ⅱ）計算男、女居民安全感好的概率，由此求出一對夫妻都安全感好的概率； 得出X的可能取值，求出對應概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．