Question

8．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE=2CD，動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動到C點，$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AP}$=-$\frac{5}{3}$，則λ+μ=（　�。�

• A． $\frac{5}{6}$
• B． 1或2
• C． $\frac{5}{6}$或2
• D． 1或$\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 建立如圖所示的直角坐標系，由正方形的邊長為1，可以得到$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），然后根據(jù)$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AP}$=-$\frac{5}{3}$，可得λ+μ的值．

解答 解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標系如圖：

則B（1，0），E（-2，1），C（1，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，1），$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-2μ，μ），
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AP}$=5u-2λ=-$\frac{5}{3}$，
當P點在線段AB上時，μ=0，解得：λ=$\frac{5}{6}$，此時λ+μ=$\frac{5}{6}$，
當P點在線段BC上時，由$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$-3$\overrightarrow{AB}$可得：$\overrightarrow{AP}$=$（λ-3μ）\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
此時λ-3μ+u=1，解得：λ=$\frac{5}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$λ+μ=2．　　
故選：C

點評 本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積的運算，向量法表示三點共線，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．