Question

3．已知非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$²x²+2（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）x+1，若方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，|$\overrightarrow$|=2，求向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 由二次方程有兩相等實(shí)根的條件：判別式為0，運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
即$\overrightarrow{a}$²x²+2（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
則判別式為4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²-4$\overrightarrow{a}$²=0，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=±|$\overrightarrow{a}$|，
則cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$
=$\frac{±|\overrightarrow{a}|}{2|\overrightarrow{a}|}$=$±\frac{1}{2}$，
即有向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為60°或120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的夾角的求法，考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，同時(shí)考查二次方程實(shí)根的判斷，屬于中檔題．