Question

20．某商場(chǎng)舉辦“迎新年摸球”活動(dòng)，主辦方準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)箱子，其中甲箱中有四個(gè)球，乙箱中有三個(gè)球（每個(gè)球的大小、形狀完全相同），每一個(gè)箱子中只有一個(gè)紅球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的紅球，則可獲獎(jiǎng)金m元，若摸中乙箱中的紅球，則可獲獎(jiǎng)金n元．活動(dòng)規(guī)定：①參與者每個(gè)箱子只能摸一次，一次摸一個(gè)球；②可選擇先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一個(gè)箱子中摸到紅球，則可繼續(xù)在第二個(gè)箱子中摸球，否則活動(dòng)終止．
（1）如果參與者先在乙箱中摸球，求其恰好獲得獎(jiǎng)金n元的概率；
（2）若要使得該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)摸箱子的順序，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎(jiǎng)金n元為事件M，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎(jiǎng)金n元的概率．
（2）先在甲箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金X的可能取值為0，m，m+n，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出E（X）；先在乙箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金H的可能取值為0，n，m+n，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出EH．由此能求出要使得該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大的摸箱子的順序．

解答 解：（1）設(shè)參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎(jiǎng)金n元為事件M，
則P（M）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
即參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎(jiǎng)金n元的概率為$\frac{1}{4}$．
（2）參與者摸球的順序有兩種，分別討論如下：
①先在甲箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金X的可能取值為0，m，m+n，
則P（X=0）=$\frac{3}{4}$，
P（X=m）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=m+n）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$，
E（X）=$0×\frac{3}{4}+m×\frac{1}{6}+（m+n）×\frac{1}{12}$=$\frac{m}{4}+\frac{n}{12}$．
②先在乙箱中摸球，參與者獲獎(jiǎng)金H的可能取值為0，n，m+n，
則P（H=0）=$\frac{2}{3}$，
P（H=n）=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（H=m+n）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，
EH=$0×\frac{2}{3}+n×\frac{1}{4}+（m+n）×\frac{1}{12}$=$\frac{m}{12}+\frac{n}{3}$，
EX-EH=$\frac{2m-3n}{12}$，
當(dāng)$\frac{m}{n}＞\frac{3}{2}$時(shí)，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲金期望值較大；
當(dāng)$\frac{m}{n}=\frac{3}{2}$時(shí)，兩種順序參與者獲獎(jiǎng)金期望值相等；
當(dāng)$\frac{m}{n}$＜$\frac{3}{2}$時(shí)，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者獲金期望值較大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．