Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$A（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m（k＞0，m＞0）與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，
（ⅰ）若$k=\frac{1}{2}$，m∈（-1，1），Q（-2m，0），證明：|QM|²+|QN|²為定值；
（ⅱ）若以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）（�。┯芍本�y=$\frac{1}{2}$x+m代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及點(diǎn)M，N滿足橢圓方程，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式化簡(jiǎn)整理，即可得證；
（ⅱ）由y=kx+m代入橢圓方程x²+4y²=4，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用斜率之積為-1，化簡(jiǎn)整理，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
將點(diǎn)$A（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$代入橢圓方程可得，
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）（�。┳C明：由直線y=$\frac{1}{2}$x+m代入橢圓方程，可得
x²+2mx+2m²-2=0，
由判別式△=4m²-4（2m²-2）＞0，解得0＜m＜$\sqrt{2}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
且y₁²=1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，y₂²=1-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，
則|QM|²+|QN|²=（x₁+2m）²+y₁²+（x₂+2m）²+y₂²
=$\frac{3}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+8m²+2+4m（x₁+x₂）
=$\frac{3}{4}$（4m²-4m²+4）+8m²+2-8m²=5為定值；
（ⅱ）由y=kx+m代入橢圓方程x²+4y²=4，
可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
判別式為64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）＞0，
化簡(jiǎn)為1+4k²-m²＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，即為OM⊥ON，
可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即為（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即有（1+k²）•$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+m²=0，
化簡(jiǎn)為5m²-4-4k²=0，
可得5m²-4＞m²-1，解得m＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由m＞0，可得m＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及兩點(diǎn)的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．