Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1及橢圓外一點(diǎn)M（0，2），過這點(diǎn)引直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程．（用兩種方法解答）

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P（x，y）．x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，兩式相減即可得出．
方法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P（x，y）．x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出．

解答： 解：方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P（x，y）．
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
則

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
兩式相減可得

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴x+2y•

y-2

x

=0，
化為

x2

2

+(y-1)2=1，x=0，y=0時(shí)滿足上述方程．
方法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P（x，y）．
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
當(dāng)直線AB的向量存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2．
聯(lián)立

y=kx+2 x2+2y2=2

，
化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△＞0，
x₁+x₂=

-8k

1+2k2

．
∴x=

-4k

1+2k2

，y=kx+2，
把k=

y-2

x

代入x=

-4k

1+2k2

，
化為

x2

2

+(y-1)2=1，x=0，y=0時(shí)滿足上述方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．