Question

已知直線l：y=x+b與圓C：x²+y²-2x+4y-4=0交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）若b=1，求△AOB的面積；
（2）若以AB為直徑的圓過圓點O，求實數(shù)b的值．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）b=1，利用圓心到直線的距離，圓的半徑求出弦長，然后求解三角形的面積．
（2）假設(shè)垂直．將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，及以AB為直徑的圓過原點，可得關(guān)于b的方程，即可求解，注意方程判別式的驗證

解答： 解：（1）由x²+y²-2x+4y-4=0，整理得（x-1）²+（y+2）²=9．…（2分）
圓的圓心（1，-2），半徑為：3，
圓心（1，-2）到l：y=x+1的距離d=

|1+2+1|

2

=2

2

，
即 弦長為：2

32-(2 2 )2

=2，原點到直線的距離為：

1

2

=

2

2

，
∴△AOB的面積為：

1

2

×2

2

×

2

2

=1．…（4分）
（2）設(shè)存在滿足條件的直線l，
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0

，消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①…（6分）
設(shè)直線l和圓C的交點為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個根．
∴x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-1．             ②…（8分）
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0③
將②代入③得：b²+3b-4=0．                  …（12分）
解得：b=1或b=-4，
b=1時，方程為2x²+4x+1=0，判別式△=16-8＞0，滿足題意
b=-4時，方程為2x²-6x-4=0，判別式△=36+32＞0，滿足題意
所以滿足條件的b為：b=1或b=-4．    …（14分）

點評：本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，三角形的面積的求法，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基本知識的考查與應(yīng)用．