【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=mlnx+(m﹣1)x.
(1)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范圍.
(2)當(dāng)m=1時(shí),試問方程xf(x)﹣ =﹣ 是否有實(shí)數(shù)根,若有,求出所有實(shí)數(shù)根;若沒有,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=

當(dāng)m≤0時(shí),由x>0知f′(x)<0恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)m≥1時(shí),由x>0知f′(x)>0恒成立,此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)0<m<1時(shí),由f'(x)>0,得x< ,由f'(x)<0,得x> ,

此時(shí)f(x)在區(qū)間(0, )內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間( ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)0<m<1時(shí)函數(shù)f(x)有最大值,最大值M=f( )=mln ﹣m.

因?yàn)镸>0,所以有mln ﹣m>0,解之得m>

所以m的取值范圍是( ,1)


(2)解:m=1時(shí),方程可化為xlnx=

設(shè)h(x)=xlnx,則h′(x)=1+lnx,

∴x∈(0, ),h′(x)<0,x∈( ,+∞),h′(x)>0,

∴h(x)min=h( )=﹣ ,

設(shè)g(x)= .g′(x)= ,

0<x<1時(shí),g′(x)>0,x>1時(shí),g′(x)<0,

∴g(x)max=g(1)=﹣ ,

≠1,∴h(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,

∴方程xf(x)﹣ =﹣ 沒有實(shí)數(shù)根


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)的最大值,M>0,所以有mln ﹣m>0,解之得m> .即可求m的取值范圍.(2)m=1時(shí),方程可化為xlnx= .構(gòu)造函數(shù)h(x)=xlnx,g(x)= ,證明h(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,即可得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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C.
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