【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{ }的前n項和,求證:1≤Sn<4.
【答案】
(1)解:由a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),
可得an+1+1=2(an+1),
即有數(shù)列{an+1}為首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
則an+1=2n,即為an=2n﹣1
(2)解:證明: = =n( )n﹣1,
前n項和Sn=11+2 +3 +…+n( )n﹣1,
Sn=1 +2 +3 +…+n( )n,
兩式相減可得, Sn=1+ + + +…+( )n﹣1﹣n( )n,
= ﹣n( )n,
化簡可得前n項和Sn=4﹣(2n+4)( )n.
由 = <1,
可得(2n+4)( )n為遞減數(shù)列,
則Sn為遞增,則Sn≥S1=1,且Sn<4.
即有1≤Sn<4.
【解析】(1)由題意可得an+1+1=2(an+1),運用等比數(shù)列的定義和通項公式,即可得到所求;(2)求出 = =n( )n﹣1 , 再由數(shù)列的求和方法:錯位相減法,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性,即可得證.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點,需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(x+a).
(Ⅰ)當a=1時,若f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范圍;
(Ⅱ)若定義在R上奇函數(shù)g(x)滿足g(x+2)=-g(x),且當0≤x≤1時,g(x)=f(x),求g(x)在[-3,-1]上的解析式,并寫出g(x)在[-3,3]上的單調(diào)區(qū)間(不必證明);
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的g(x),若關(guān)于x的不等式g()≥g(-)在R上恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,圓的方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的單位長度,直線的極坐標方程為
(1)當時,判斷直線與圓的關(guān)系;
(2)當上有且只有一點到直線的距離等于時,求上到直線距離為的點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=x2+5,記a=f(﹣log25),b=f(log23),c=f(﹣1),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.c<b<a
B.a<c<b
C.c<a<b
D.a<b<c
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法錯誤的是( )
A. 無論點在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是
B. 無論點在上怎么移動,都有
C. 當點移動至中點時,才有與與相交于一點,記為點,且
D. 當點移動至中點時,直線與平面所成角最大且為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),某種產(chǎn)品在投放市場的30天中,其銷售價格(元)和時間(天)的關(guān)系如圖所示.
(1)求銷售價格(元)和時間(天)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若日銷售量(件)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系式是 ,問該產(chǎn)品投放市場第幾天時,日銷售額(元)最高,且最高為多少元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=mlnx+(m﹣1)x.
(1)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范圍.
(2)當m=1時,試問方程xf(x)﹣ =﹣ 是否有實數(shù)根,若有,求出所有實數(shù)根;若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)當a=﹣3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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