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焦點為F的拋物線y2=4x上有三點A、B、C滿足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差數列．則直線AC的方程是
 
．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：利用△ABC的重心是F，可得y1+y2+y3=0，x1+x2+x3=3，|FA|、|FB|、|FC|成等差數列，可求B的坐標，進而可得直線AC的斜率，從而可得直線AC的方程．
解答： 解：設A、B、C三點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），
∵拋物線y2=4x的焦點F的坐標為F（1，0），△ABC的重心是F
∴
1
3
（x1+x2+x3）=1，y1+y2+y3=0，可得x1+x2+x3=3，
∵|FA|、|FB|、|FC|成等差數列，
∴2|FB|=|FA|+|FC|，
∴2（x2+1）=x1+1+x3+1，
∴2x2=x1+x3，
∴x2=1，
∴y2=±2，
∴y1+y3=±2，
∴kAC=
y3-y1
x3-x1
=
4
y1+y3
=±2，
設直線AC的方程是y=2x+b，代入y2=4x可得4x2+（4b-4）x+b2=0，
∴x1+x3=-b+1=2
∴b=-1，
同理直線AC的方程是y=-2x+b，代入y2=4x，可得b=-1，
∴直線AC的方程是2x±y-1=0．
故答案為：2x±y-1=0．
點評：本題考查拋物線方程，考查拋物線的定義，考查學生的計算能力，確定直線AC的斜率是關鍵．
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1
2
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2
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4
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