Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=

1

2

，2na_n+1=（n+1）•a_n，且b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a²_n，n∈N^*
（1）求a₂，a₃，a₄，并求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）對一切的n∈N^*，求證：

2

an+2

＜

an

bn

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由2na_n+1=（n+1）•a_n，得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，則數(shù)列{

an

n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此求出{

an

n

}的通項公式，則{a_n}的通項公式；
（2）要證

2

an+2

＜

an

bn

成立，需證2b_n＜a_n²+2a_n，即證b_n-

1

2

a_n²=ln（1+a_n）＜a_n，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），然后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，
由函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)論．

解答： （1）解：由2na_n+1=（n+1）a_n，得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，
則數(shù)列{

an

n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴

an

n

=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
∴a_n=

n

2n

；
（2）證明：要證

2

an+2

＜

an

bn

，即證2b_n＜a_n²+2a_n，
也就是證2b_n-a_n²-2a_n＜0，即證b_n-

1

2

a_n²-a_n＜0，即證b_n-

1

2

a_n²=ln（1+a_n）＜a_n，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），
當(dāng)x＞0時，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
∴f（x）在x∈[0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，則f（x）＜f（0）=0，
∴l(xiāng)n（1+x）＜x（x＞0），
∵a_n＞0，∴l(xiāng)n（1+a_n）＜a_n，
即對一切n∈N^*，

2

an+2

＜

an

bn

成立．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及推理論證的能力，屬于中檔題．