Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合并求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）利用倍角公式與兩角和差的正弦公式可得函數(shù)f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)-1，利用T=

2π

2

可得最小周期．
（II）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），函數(shù)f（x）取得最大值．由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x
=sin2x-（1-cos2x）
=sin2x+cos2x-1
=

2

sin(2x+

π

4

)-1，
∴T=

2π

2

=π．
（II）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）時，sin(2x+

π

4

)取得最大值1，函數(shù)f（x）取得最大值

2

-1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

點評：本題考查了倍角公式與兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．