Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，e]，?x₀∈[1，e]，f（x₁）=g（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax-lnx，∴．
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x=，當(dāng)x∈（0，]時，f′（x）≤0，此時f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈[）時，f′（x）≥0，此時f（x）為增函數(shù)．
∴當(dāng)a≤0時，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的遞減區(qū)間是（0，]，遞增區(qū)間是[，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[1，e）時，g′（x）=≥0，
∴g（x）在[1，e）上是增函數(shù)，
∴g（x）∈，．
設(shè)f（x），g（x0在[1，e]上的值域分別為A，B，
由題意，得A⊆B，
當(dāng)a≤0時，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，∴A=[ae-1，a]，此時a不存在；
當(dāng)a＞0時，若，即0＜a時，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴A=[ae-1，a]，
∴，此時a不存在．
若1，即時，
f（x）在[1，]上是減函數(shù)，在[，e]上是增函數(shù)．
∴，
∴，解得．
若，即a＞1時，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，∴A=[a，ae-1]．
∴，此時a不存在．
綜上，a∈[，]．
分析：（1）由f（x）=ax-lnx，知．再由實數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[1，e）時，g′（x）=≥0，故g（x）在[1，e）上是增函數(shù)，所以g（x）∈，．設(shè)f（x），g（x0在[1，e]上的值域分別為A，B，由題意，得A⊆B，由此入手進(jìn)行分類討論，能夠求出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，計算繁瑣，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運用．