Question

已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1），
（1）求實數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；
（2）若圓C上存在四個點到直線l的距離為

2

，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知N（0，-3），若圓C上存在兩個不同的點P，使PM=

3

PN，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）圓的方程化為標準方程，可得實數(shù)a的取值范圍，利用垂徑定理，可求直線l的方程；
（2）確定與直線l平行且距離為

2

的直線，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）利用PM=

3

PN，可得圓的方程，結合兩個圓相交，求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）圓C：(x+1)2+(y-2)2=5-a，C(-1，2)，r=

5-a

(a＜5)…（1分）
據(jù)題意：CM=

2

＜

5-a

⇒a＜3…（2分）
因為CM⊥AB，⇒k_CM•k_AB=-1，k_CM=-1，⇒k_AB=1
所以直線l的方程為x-y+1=0…（4分）
（2）與直線l平行且距離為

2

的直線為：l₁：x-y+3=0過圓心，有兩個交點，…（6分）
l₂：x-y-1=0與圓相交，⇒2

2

＜

5-a

⇒a＜-3；…（8分）
（3）設P(x，y)，PM=

3

PN⇒x2+(y+5)2=12…（12分）
據(jù)題意：兩個圓相交：|

5-a

-2

3

|＜5

2

＜

5-a

+2

3

⇒-57-20

6

＜a＜20

6

-57…（14分）
且20

6

-57＜3，所以：-57-20

6

＜a＜20

6

-57…（16分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線和圓的方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．