Question

4．（文科）設(shè)f（x）=a（x-5）²+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．
（Ⅰ）確定a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）因f（x）=a（x-5）²+6lnx，
故f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6-8a，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-16a=（6-8a）（x-1），
由切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．
∴6-16a=8a-6，
∴a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（I）得f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x-5）+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$，
令f′（x）=0，得x=2或x=3，
當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．