Question

9．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin⁴x
（1）求f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由三角函數(shù)的周期性及其求法可求f（x）的最小正周期，令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的對(duì)稱軸．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin（2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可求得值域．

解答 解：（1）∵f（x）=cos⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin⁴x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的對(duì)稱軸為：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．