Question

13．已知函f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）
（I）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅱ）可得x=$\sqrt{a}$為函數(shù)的臨界點(diǎn)，通過討論a的范圍來討論，可得最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當(dāng)0＜a≤1或a≥e²時(shí)，不合題意，當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，得到不等式組，解之可得a的范圍．

解答 解：（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
由a＞0及定義域?yàn)椋?，+∞），令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，
①若$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
②若1＜$\sqrt{a}$＜e，即1＜a＜e²，在（1，$\sqrt{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（$\sqrt{a}$，e）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，因此f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$，
③若$\sqrt{a}$＞e，即a≥e²在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
因此，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（e）=$\frac{1}{2}$e²-a．
綜上，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f_min（x）=$\frac{1}{2}$；當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，f_min（x）=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
當(dāng)a≥e²時(shí)，f_min（x）=$\frac{1}{2}$e²-a；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知當(dāng)0＜a≤1或a≥e²時(shí)，
f（x）在（1，e）上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)1＜a＜e²時(shí)，要使f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}a（1-lna）＜0}\\{f（1）=\frac{1}{2}＞0}\\{f（e）={\frac{1}{2}e}^{2}-a＞0}\end{array}\right.$，解得：e＜a＜$\frac{1}{2}$e²．
∴a的取值范圍為（e，$\frac{1}{2}$e²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，涉及函數(shù)的零點(diǎn)和閉區(qū)間的最值，屬中檔題．