Question

11．雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\sqrt{3}$，拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為$4\sqrt{2}$，則拋物線的方程為（　　）

• A． y²=8x
• B． y²=4x
• C． y²=2x
• D． ${y^2}=4\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線性質(zhì)求出漸近線方程，得出|AB|，根據(jù)△OAB的面積計(jì)算出$\frac{p}{2}$，得出拋物線方程．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$離心率為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}a$，∴b²=c²-a²=2a²，即b=$\sqrt{2}$a，
∴雙曲線的漸近線方程是$y=±\sqrt{2}x$，
又拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是$x=-\frac{p}{2}$，∴$|AB|=\sqrt{2}p$，
又△OAB的面積為$4\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×\sqrt{2}p=4\sqrt{2}$，解得p=4．
∴拋物線的方程為y²=8x，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線，雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．