Question

11．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對(duì)于D上的n個(gè)值x₁，x₂，…x_n，總滿足：$\frac{1}{n}$[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）]≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$），稱函數(shù)f（x）為D上的凸函數(shù)．現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)以及凸函數(shù)的定義可得$\frac{f（A）+f（B）+f（C）}{3}$≤f（ $\frac{A+B+C}{3}$）=f（ $\frac{π}{3}$），即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$，由此求得sinA+sinB+sinC的最大值．

解答 解：：∵f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，
且A、B、C∈（0，π），
∴$\frac{f（A）+f（B）+f（C）}{3}$≤f（ $\frac{A+B+C}{3}$）=f（ $\frac{π}{3}$），
即sinA+sinB+sinC≤3sin $\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以sinA+sinB+sinC的最大值為 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的最值問題．考查了考生運(yùn)用所給條件分析問題的能力和創(chuàng)造性解決問題的能力，屬于中檔題．