Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，對(duì)于任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值為10，則f（x）=x²-5x+4．

Answer 1

分析 由f（sinα）≥0知，x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥0，同樣可得x∈[1，3]時(shí)，f（x）≤0，從而得到f（1）=0，從而可得到f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，從而便可得到f（-1）=10，這樣便可得到不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{1-b+c=10}\end{array}\right.$，解出b，c即可得出f（x）．

解答 解：由已知條件知，x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≥0，x∈[1，3]時(shí)，f（x）≤0；
∴f（1）=0，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
f（sinα）的最大值為10；
∴f（-1）=10；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{1-b+c=10}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=4}\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-5x+4．
故答案為：x²-5x+4．

點(diǎn)評(píng) 考查正余弦函數(shù)的值域，根據(jù)條件可畫(huà)出函數(shù)f（x）的草圖求解，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，要熟悉二次函數(shù)的圖象．