【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明:總存在,使得當,恒有.
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】試題分析:
(Ⅰ)求出導數(shù), 就是切線的斜率,由點斜式寫出直線方程;
(Ⅱ)不等式可化為,因此只要求的最大值,即得結論.這可利用導數(shù)的知識求解.
(Ⅲ) ,設,利用導數(shù)知識求出的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為,注意到,因此當時,可取即符合題意;當時,用放縮法,由(Ⅱ),即,因此有,由得,此時有,取,由,因此在是遞減,滿足題意.
試題解析:
的定義域為.
(Ⅰ)當時, , ,
, ,
所以,所求切線方程為.
(Ⅱ)因為,所以. . ,
令,則,
由得, ,
所以, , , , ,
所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,
所以,所以.
(III) ,
令, ,
所以, , , , ,
所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,
因為,所以,
當時,存在,使得當,恒有,即,
當時,由(Ⅱ)知, ,即,
所以,
由得, ,所以.
,存在,使得當,恒有,即.
綜合上所述,總存在,使得當,恒有.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知多面體如圖所示,底面為矩形,其中平面, .若, , 分別是, , 的中點,其中.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若二面角的余弦值為,求的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(m>0)的離心率為,A,B分別為橢圓的左、右頂點,F(xiàn)是其右焦點,P是橢圓C上異于A、B的動點.
(1)求m的值及橢圓的準線方程;
(2)設過點B且與x軸的垂直的直線交AP于點D,當直線AP繞點A轉動時,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系,并加以證明.
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【題目】設函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c(b,c∈R),給出如下四個命題:①若c=0,則f(x)為奇函數(shù);②若b=0,則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);③函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(0,c)成中心對稱圖形;④關于x的方程f(x)=0最多有兩個實根.其中正確的命題
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【題目】某校為研究學生語言學科的學習情況,現(xiàn)對高二200名學生英語和語文某次考試成績進行抽樣分析. 將200名學生編號為001,002,…,200,采用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取10名學生,將10名學生的兩科成績(單位:分)繪成折線圖如下:
(Ⅰ)若第一段抽取的學生編號是006,寫出第五段抽取的學生編號;
(Ⅱ)在這兩科成績差超過20分的學生中隨機抽取2人進行訪談,求2人成績均是語文成績高于英語成績的概率;
(Ⅲ)根據(jù)折線圖,比較該校高二年級學生的語文和英語兩科成績,寫出你的結論和理由.
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【題目】若無窮數(shù)列滿足: ,對于,都有(其中為常數(shù)),則稱具有性質“”.
(Ⅰ)若具有性質“”,且, , ,求;
(Ⅱ)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , ,判斷是否具有性質“”,并說明理由;
(Ⅲ)設既具有性質“”,又具有性質“”,其中, , 互質,求證: 具有性質“”.
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【題目】“城中觀海”是近年來國內(nèi)很多大中型城市內(nèi)澇所致的現(xiàn)象,究其原因,除天氣因素、城市規(guī)劃等原因外,城市垃圾雜物也是造成內(nèi)澇的一個重要原因.暴雨會沖刷城市的垃圾雜物一起進入下水道,據(jù)統(tǒng)計,在不考慮其它因素的條件下,某段下水道的排水量V(單位:立方米/小時)是雜物垃圾密度x(單位:千克/立方米)的函數(shù).當下水道的垃圾雜物密度達到2千克/立方米時,會造成堵塞,此時排水量為0;當垃圾雜物密度不超過0.2千克/立方米時,排水量是90立方米/小時;研究表明,0.2≤x≤2時,排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù).
(1)當0≤x≤2時,求函數(shù)V(x)的表達式;
(2)當垃圾雜物密度x為多大時,垃圾雜物量(單位時間內(nèi)通過某段下水道的垃圾雜物量,單位:千克/小時)f(x)=xV(x)可以達到最大,求出這個最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】輪船從某港口將一些物品送到正航行的輪船上,在輪船出發(fā)時,輪船位于港口北偏西且與相距20海里的處,并正以30海里的航速沿正東方向勻速行駛,假設輪船沿直線方向以海里/小時的航速勻速行駛,經(jīng)過小時與輪船相遇.
(1)若使相遇時輪船航距最短,則輪船的航行速度大小應為多少?
(2)假設輪船的最高航速只能達到30海里/小時,則輪船以多大速度及什么航行方向才能在最短時間與輪船相遇,并說明理由.
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