Question

19．已知函數f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，g（x）=$\frac{1}{f（x）-a}$，若g（2x）-a•g（x）=0有唯一實數解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意先求出g（x）的解析式，代入方程進行化簡得：2^2x-a•2^x+1-a=0，利用換元法轉化已知的方程，根據二次函數根的分布問題，列出不等式組求出實數a的取值范圍．

解答 解：因為f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，g（x）=$\frac{1}{f（x）-a}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{2}$，
將方程g（2x）-a•g（x）=0化為：$\frac{{2}^{2x}+1}{2}$-a•$\frac{{2}^{x}+1}{2}$=0，
化簡得2^2x-a•2^x+1-a=0．
設t=2^x，則t＞0，代入上式得t²-at+1-a=0，
因為關于x的方程g（2x）-a•g（x）=0有唯一的實數解，
所以關于t的方程t²-at+1-a=0有唯一的正實數解，
則1-a＜0或 $\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-4（1-a）=0}\\{-\frac{-a}{2}＞0}\end{array}\right.$，解得a＞1或a＞2（ $\sqrt{2}$-1），
所以實數a的取值范是：（2（ $\sqrt{2}$-1），+∞）．

點評 本題主要考查函數奇偶性的性質，二次函數根的分布問題，以及有關方程根的轉化問題，考查換元法和轉化思想，屬于中檔題．