Question

已知定義在R上的函數和數列滿足下列條件：，
，其中a為常數，k為非零常數.
（Ⅰ）令，證明數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）當時，求.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析；
（Ⅱ）數列的通項公式為   ，
（Ⅲ）當時, 

本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．
（1）由題意知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（an_-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（a_n-an_-1）（n=2，3，4，），由此可知an-an-1=k（a_n-a_n-1），（n=2，3，4，），得k=1．
（2）由b₁=a₂-a₁≠0，知b₂=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0．因此b_n=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）═kn-1_（a₂-a₁）≠0，由此可知數列{bn}是一個公比為k的等比數列．
（3）{an}是等比數列的充要條件是f（x）=kx（k≠1）；先進行充分性證明：若f（x）=kx（k≠1），則{an}是等比數列．再進行必要性證明：若{an}是等比數列，f（x）=kx（k≠1）．
（Ⅰ）證明：由，可得
.由數學歸納法可證
.
由題設條件，當時
因此，數列是一個公比為k的等比數列.
（Ⅱ）解：由（1）知，
當時，
當時，   .
而  
所以，當時,      .上式對也成立. 所以，數列的通項公式為. 當時
   。上式對也成立，所以，數列的通項公式為   ，
（Ⅲ）解：當時,