Question

16．設函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2016）²f（x+2016）-f（-1）＞0的解集為（-∞，-2017）．

Answer 1

分析 根據條件，構造函數，利用函數的單調性和導數之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結論．

解答 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
則當x＜0時，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數，
∴F（x+2016）=（x+2016）²f（x+2016），F（-1）=f（-1），
即不等式等價為F（x+2016）-F（-1）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是減函數，
∴由F（x+2016）＞F（-1）得，x+2016＜-1，
即x＜-2017，
故答案為：（-∞，-2017）．

點評 本題主要考查不等式的解法，利用條件構造函數，利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．