Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)M在與正方體的各棱都相切的球面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在三角形ACB₁的外接圓上運(yùn)動(dòng)，則線段MN長度的最小值是（　�。�

• A、

  3 -1

  2

• B、

  2 -1

  2

• C、

  3 - 2

  2

• D、

  3

  -

  2

Answer 1

考點(diǎn)：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：線段MN長度的最小值是正方體的外接球的半徑減去正方體的各棱都相切的球的半徑，由此可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)與正方體的各棱都相切的球的球心為O，正方體的外接球?yàn)镺′，則三角形ACB₁的外接圓是正方體的外接球?yàn)镺′的一個(gè)小圓，
∵點(diǎn)M在與正方體的各棱都相切的球面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在三角形ACB₁的外接圓上運(yùn)動(dòng)，
∴線段MN長度的最小值是正方體的外接球的半徑減去正方體的各棱都相切的球的半徑，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1
∴線段MN長度的最小值是

3

2

-

2

2

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查空間距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定線段MN長度的最小值是正方體的外接球的半徑減去正方體的各棱都相切的球的半徑是關(guān)鍵．