Question

18．某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層�？浚�已知該電梯在1層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的．
（Ⅰ）求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；
（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是$\frac{1}{3}$，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率．
（Ⅱ） X的可能取值為0，1，2，3，4，且$X～B（4，\frac{1}{3}）$，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為A，
由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是$\frac{1}{3}$，
則$P（A）=1-P（\overline A）=1-{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{65}{81}$． …．（4分）
（Ⅱ） X的可能取值為0，1，2，3，4，
由題意可得每個(gè)人在第4層下電梯的概率均為$\frac{1}{3}$，且每個(gè)人下電梯互不影響，
所以，$X～B（4，\frac{1}{3}）$，
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∵X～B（4，$\frac{1}{3}$），
∴$E（X）=4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
 $D（X）=4×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．