Question

13．求曲線y=x²（x＞0）在點(diǎn)A（2，4）的切線與該曲線以及x軸所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出曲線的斜率，然后求解切線方程．利用定積分公式求解即可．

解答 解：求導(dǎo)：f'（x）=2x，則曲線在點(diǎn)A（2，4）處的切線斜率為：k=2×2=4．
由點(diǎn)斜式知切線方程為：y-4=4（x-2），即y=4x-4（4分）
切線與x軸的交點(diǎn)為A（1，0），
故所求圖形面積為：${∫}_{0}^{1}{x}^{2}dx+{∫}_{1}^{2}（{x}^{2}-4x+4）dx$=$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{1}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+4x$）${|}_{1}^{2}$=$\frac{2}{3}$．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，定積分的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．