Question

5．已知四面體的四個頂點S（0，6，4），A（3，5，3），B（-2，11，-5），C（1，-1，4），求從頂點S向底面ABC所引高的長．

Answer 1

分析 求出以$\overrightarrow{AB}$=（-5，6，-8），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-6，1），然后求出平面ABC的一個法向量，通過法向量與$\overrightarrow{SA}$的數(shù)量積即可求出頂點S到平面ABC的距離．

解答 解：因為四面體四個頂點分別為S（0，6，4），A（3，5，3），B（-2，11，-5），C（1，-1，4），
所以$\overrightarrow{AB}$=（-5，6，-8），$\overrightarrow{AC}$=（-2，-6，1），$\overrightarrow{SA}$=（3，-1，-1）．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）
所以$\left\{\begin{array}{l}{-5a+6b-8c=0}\\{-2a-6b+c=0}\end{array}\right.$，不妨令a=2，則c=-2，解得b=-1．
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，-1，-2）．
所以頂點S到平面ABC的距離，就是$\overrightarrow{SA}$在平面ABC的法向量投影的長度，即：|$\frac{6+1+2}{\sqrt{4+1+4}}$|=3．

點評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，平面法向量的求法，考查空間想象能力以及計算能力．