Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a²+1）x+a．
（1）若當a＞0時f（x）＜0在x∈（1，2）上恒成立，求a范圍
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）當a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²-（a²+1）x+a的圖象開口方向朝上，若f（x）＜0在x∈（1，2）上恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$，解得a的范圍；
（2）f（x）=ax²-（a²+1）x+a＞0?（ax-1）（x-a）＞0，對a值進行分類討論，可得不同情況下，不等式的解集．

解答 解：（1）當a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²-（a²+1）x+a的圖象開口方向朝上，
若f（x）＜0在x∈（1，2）上恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a-（{a}^{2}+1）+a≤0\\ 4a-2（{a}^{2}+1）+a≤0\end{array}\right.$，
解得$a∈（0，\frac{1}{2}]∪[2，+∞）$
（2）f（x）=ax²-（a²+1）x+a＞0?（ax-1）（x-a）＞0，
當a=0時，得到x＜0，
當a＞0時，化為$（x-\frac{1}{a}）（x-a）＞0$，
當a＞1時，得到$x＜\frac{1}{a}$或x＞a，
當a=1時，得到x≠1，
當0＜a＜1時，得到x＜a或$x＞\frac{1}{a}$，
當a＜0時，化為$（x-\frac{1}{a}）（x-a）＜0$，
當-1＜a＜0時，得到$\frac{1}{a}＜x＜a$
當a=-1時，得到x∈ϕ，
當a＜-1時，得到$a＜x＜\frac{1}{a}$，
綜上所述，a＜-1時，原不等式的解集為：（a，$\frac{1}{a}$）
a=-1時，原不等式的解集為：∅，
-1＜a＜0時，原不等式的解集為：（$\frac{1}{a}$，a），
a=0時，原不等式的解集為：（-∞，0）
0＜a＜1時，原不等式的解集為：（-∞，a）∪（$\frac{1}{a}$，+∞），
a＞1原不等式的解集為：（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（a，+∞）．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．