Question

6．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB，現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE=3，求幾何體BEC-AFD的體積；
（2）求三棱錐A-CDF的體積的最大值，并求此時(shí)二面角A-CD-E的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出FD⊥平面ABEF，從而AF⊥平面EFDC，CE⊥平面ABEF，連結(jié)FC，將幾何體BEC-AFD分成三棱錐A-CDF和四棱錐C-ABEF，由此能求出幾何體BEC-AFD的體積．
（2）設(shè)BE=x，則AF=x（0＜x≤6），F(xiàn)D=8-x，V_{三棱錐A-CDF}=$\frac{1}{3}（-{x}^{2}+8x）$，當(dāng)x=4時(shí)，V_{三棱錐A-CDF}有最大值，∠ACF為二面角A-CD-E的平面角，由此能求出二面角A-CD-E的正切值．

解答 解：（1）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，F(xiàn)D⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，
∴FD⊥AF，又AF⊥EF，F(xiàn)D∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
同理，CE⊥平面ABEF，
連結(jié)FC，將幾何體BEC-AFD分成三棱錐A-CDF和四棱錐C-ABEF，
對(duì)于三棱錐A-CDF，棱錐高為AF=BE=3，F(xiàn)D=5，
∴V_{三棱錐A-CDF}=$\frac{1}{3}×AF×{S}_{△CDF}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×5×2$=5，
對(duì)于四棱錐C-ABEF，棱錐高為CE=3，
∴V_{四棱錐C-ABEF}=$\frac{1}{3}×CE×{S}_{矩形ABEF}$=$\frac{1}{3}×3×3×2$=6，
∴幾何體BEC-AFD的體積V=V_{三棱錐A-CDF}+V_{四棱錐C-ABEF}=5+6=11．
（2）設(shè)BE=x，∴AF=x（0＜x≤6），F(xiàn)D=8-x，
∴V_{三棱錐A-CDF}=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•（8-x）•x=\frac{1}{3}（-{x}^{2}+8x）$，
∴當(dāng)x=4時(shí)，V_{三棱錐A-CDF}有最大值，且最大值為$\frac{16}{3}$，
在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，
∴CF=2$\sqrt{2}$，CD=2$\sqrt{2}$，DF=4，
∴CF²+CD²=DF²，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，
又AF⊥平面EFDC，DC?平面EFDC，
∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，
∴∠ACF為二面角A-CD-E的平面角，
tan$∠ACF=\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴二面角A-CD-E的正切值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，考查三棱錐的體積的最大值時(shí)二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．