Question

18．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AB∥CD，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，與CD，DB的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P，Q．
（1）證明：AD²=AB•DP；
（2）若PD=3AB=3，BQ=$\sqrt{2}$，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出△DAP∽△ABD，從而$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{AD}$，由此能證明AD²=AB•DP．
（2）推導(dǎo)出DQ=3$\sqrt{2}$，QA=$\sqrt{6}$，PA=2$\sqrt{6}$，由此能求出CD．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，∴∠QAB=∠ADB，
∵QA是⊙O的切線，∴∠QAB=∠ADB，
∴∠APD=∠ADB，
又PA是⊙O的切線，∴∠PAD=∠DBA，
∴△DAP∽△ABD，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{AD}$，
∴AD²=AB•DP．
解：（2）∵AB∥CD，且PD=2AB，∴$\frac{AQ}{PQ}=\frac{BQ}{DQ}=\frac{1}{3}$，
由BQ=$\sqrt{2}$，知DQ=3$\sqrt{2}$，
∵QA是⊙O的切線，∴QA²=QB$•QD=\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=6，∴QA=$\sqrt{6}$，
由$\frac{AQ}{PQ}=\frac{1}{3}$，知PA=2$\sqrt{6}$，
又PA是⊙O的切線，∴PA²=PD•PC，
即24=3PC，解得PC=8，
∴CD=8-3=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等式的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、切線性質(zhì)、弦切角定理的合理運(yùn)用．