Question

11．已知a＞0，若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}4a•lnx-{x^2}，x＞0\\{x^3}-3{a^2}x-4，x≤0\end{array}\right.$且g（x）=f（x）+2a至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1]
• B． （1，2]
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，然后畫出a=1及a=2時(shí)的分段函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由圖判斷a=1及a=2時(shí)滿足題意，結(jié)合選項(xiàng)得答案．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）+2a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程f（x）=-2a根的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-2a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用特殊值驗(yàn)證法：
當(dāng)a=1時(shí)，y=f（x）的圖象如圖：

滿足題意；
當(dāng)a=2時(shí)，y=f（x）的圖象如圖：

滿足題意．
結(jié)合選項(xiàng)可知，a的范圍是D．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了特值驗(yàn)證法，是中檔題．