Question

14．△ABC中，頂點A（7，1），AB邊上的中線CE所在直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高BF所在直線方程為x-2y-5=0．
（1）求頂點C的坐標；
（2）求直線BC的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線BF的斜率，求出AC的斜率，從而求出直線AC的方程，聯(lián)立AC、CE的方程組，求出C的坐標即可；
（2）設(shè)出B的坐標，求出E的坐標，得到關(guān)于m，n法方程組，求出B的坐標以及BC的斜率，從而求出直線方程即可．

解答 解：（1）由題意可知${k_{BF}}=\frac{1}{2}$，
∵BF為邊AC的高，∴k_AC=-2，…（2分）
∴直線AC的方程為：y-1=-2（x-7），
整理，得2x+y-15=0，…（4分）
聯(lián)立直線AC與CE的方程組，
得$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-15=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}}\right.$，解之，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}}\right.$，
∴點C的坐標為（5，5）；…（6分）
（2）設(shè)B點的坐標為（m，n），
∵E為AB中點，∴$E（\frac{m+7}{2}，\frac{n+1}{2}）$，
∵E在直線CE上，∴$2•\frac{m+7}{2}-\frac{n+1}{2}-5=0$，
∴2m-n+3=0，…（8分）
又∵B在直線BF上，∴m-2n-5=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2m-n+3=0}\\{m-2n-5=0}\end{array}}\right.$∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=-\frac{11}{3}}\\{n=-\frac{13}{3}}\end{array}}\right.$，
∴$B（-\frac{11}{3}，-\frac{13}{3}）$，…（10分）
∴${k_{BC}}=\frac{{5+\frac{13}{3}}}{{5+\frac{11}{3}}}=\frac{14}{13}$，
∴直線BC的方程為$y-5=\frac{14}{13}（x-5）$，
即14x-13y-5=0．…（12分）

點評 本題考查了求直線方程以及直線的斜率問題，考查直線的垂直關(guān)系，是一道中檔題．