Question

16．如圖，橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，一條直線l經(jīng)過F₁與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45°，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 求出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去x，由根與系數(shù)的關(guān)系求出|y₁-y₂|的值，即可計(jì)算△ABF₂的面積S．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{7}$，0），
直線l的傾斜角為45°，直線的斜率是k=tan45°=1，且過焦點(diǎn)F₁（-$\sqrt{7}$，0）；
∴直線方程為y=x+$\sqrt{7}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{7}}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去x，得9（y-$\sqrt{7}$）2+16y²=144，
整理得25y²-18$\sqrt{7}$y-81=0，y₁+y₂=$\frac{18\sqrt{7}}{25}$，y₁y₂=$\frac{-81}{25}$；
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{18\sqrt{7}}{25}）^{2}+4×\frac{81}{25}}$=$\frac{72\sqrt{2}}{25}$；
∴△ABF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×$\frac{72\sqrt{2}}{25}$=$\frac{72\sqrt{14}}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了橢圓的定義的應(yīng)用問題，是中檔題．