Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+b²x，在x=1處有極大值$\frac{1}{3}$，則b=（　�。�

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或-1
• D． -$\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 求導函數(shù)，利用當x=1時，有極大值$\frac{1}{3}$，建立方程，求出a，b的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+b²x，
∴f′（x）=3ax²+2bx+b²，
∵當x=1時，有極大值$\frac{1}{3}$，
∴f′（1）=0，f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴3a+2b+b²=0，a+b+b²=$\frac{1}{3}$，
∴a=$\frac{1}{3}$，b=-1或a=-$\frac{5}{12}$，b=$\frac{1}{2}$，
a=$\frac{1}{3}$，b=-1時，f′（x）=（x-1）²，x=1時，函數(shù)不取得極大值，不符合題意；
a=-$\frac{5}{12}$，b=$\frac{1}{2}$時，f′（x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）（5x+2），x=1時，函數(shù)取得極大值，符合題意，
故選B．

點評 本題考查導數(shù)知識的應用，考查函數(shù)的極值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．