Question

如圖，角α（α∈（

π

6

，

π

2

））的終邊交單位圓于點A，將角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

，交單位圓于點B．記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若x₁=

3

5

，求x₂的值；
（Ⅱ）過點A、B分別作x軸的垂線，垂足依次為C、D，記△AOC、△BOD的面積分別為S₁、S₂，若S₁₌

3

S₂，求角α的值．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)的定義分別表示出x₁，y₁和x₂，y₂，進而根據(jù)x₁的值求得sinα和cosα的值，最后利用兩角和公式求得x₂的值；
（Ⅱ）用三角形面積公式分別表示出△AOC、△BOD的面積根據(jù)已知關(guān)系，求得α的值．

解答： 解：如圖，由三角函數(shù)的定義知：

x1=cosα，y1=sinα，x2=cos(α+

π

4

)，y2=sin(α+

π

4

)．
（Ⅰ）∵x1=cosα=

3

5

，
∴sinα=

4

5

，
∴x2=cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

．
（Ⅱ）S1=

1

2

|OC|•|AC|=

1

2

|cosα•sinα|=

1

4

|sin2α|，S2=

1

2

|OD|•|BD|=

1

2

|cos(α+

π

4

)sin(α+

π

4

)=

1

4

|cos2α|，
∵S1=

3

S2，
∴|sin2α|=

3

|cos2α|⇒|tan2α|=

3

，
∵

π

6

＜α＜

π

2

，
∴

π

3

＜2α＜π，
∴2α=

2π

3

⇒α=

π

3

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦定理的應(yīng)用．注重了對學(xué)生基礎(chǔ)知識的考查．