Question

如圖所示，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=45°，AB=SA=SB=2．
（1）證明：SA⊥BC；
（2）求點(diǎn)B到平面SAD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD，連接AO．由條件SA=SB，可以說(shuō)明OA=OB，因?yàn)椤螦BC=45°，所以O(shè)B⊥OA，從而證明BO⊥平面SAO，所以BO⊥平面SAO，所以SA⊥BC．
（2）要求B到平面SAD的距離，需要過(guò)B作平面SAD的垂線，垂足為E，這樣直接作不好作，所以想著建立空間直角坐標(biāo)系，用向量解決．可以分別以O(shè)A，OB，OS為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)BE⊥平面SAD，E在平面SAD上，會(huì)得到向量的一些關(guān)系，從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出BE．

解答： （1）證明：作SO⊥BC，垂足是O，連接AO，SO，
∵側(cè)面SBC⊥底面ABCD，側(cè)面SBC∩底面ABCD=BC
∴SO⊥底面ABCD；
又∵OA?底面ABCD，OB?底面ABCD
∴SO⊥OA，SO⊥OB；
又 SA=SB
∴OA=OB；
又∠ABC=45°
∴OA⊥OB；
∵BC⊥SO，BC⊥AO，SO∩AO=O
∴BC⊥平面SOA；
又∵SA?平面SOA
∴SA⊥BC．
（2）分別以O(shè)A，OB，OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
在Rt△AOB中，∠，∠ABO=45°，AB=2；
∴OA=OB=

2

；
在Rt△BOS中，∠SOB=90°，OB=

2

，SB=2；
∴OS=

2

．
設(shè)D（

2

，a，0），過(guò)B作平面SAD的垂線，垂足為E（x₀，y₀，z₀），并且能確定以下幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：
A（

2

，0，0），S（0，0，

2

），B（0，

2

，0）；
∴

AE

=(x0-

2

，y0，z0)，

AD

=(0，a，0)，

AS

=(-

2

，0，

2

)，

BE

=(x0，y0-

2

，z0)；
∵

AE

，

AD

，

AS

都在平面SAD上，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使：

AE

=λ

AD

+μ

AS

；
∴帶入坐標(biāo)可得：

x0- 2 =- 2 μ y0=aλ z0= 2 μ

                 （1）
∵

BE

⊥平面SAD，∴

BE

⊥

AS

，

BE

⊥

AD

；
∴

a(y0- 2 )=0 - 2 x0+ 2 z0=0

                            （2）
由（1）（2）解得：x0=

2

2

，y0=

2

，z0=

2

2

；
∴BE=1．
∴點(diǎn)B到平面SAD的距離為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直判定定理，線線垂直的判定方法，線面垂直的性質(zhì)，空間直角坐標(biāo)系，共面向量基本定理，相互垂直的向量的數(shù)量積為0，要掌握這種用向量的辦法求點(diǎn)到平面的距離的求法．