Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線BM與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求直線BM與CD所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得PE⊥AD，由此能證明PE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)H，連結(jié)MH，HB，由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，由已知條件推導(dǎo)出∠MBH為BM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線BM與平面ABCD所成角的正切值．
（Ⅲ）由CD∥BE，知直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角，由此能求出直線BM與CD所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=PD，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面 ABCD．
（Ⅱ）解：連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)H，連結(jié)MH，HB，
∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，H是EC的中點(diǎn)，∴MH=PE，
由（Ⅰ）知PE⊥平面ABCD，
∴MH⊥平面ABCD，
∴HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠MBH為BM與平面ABCD所成的角，
∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，E為AD的中點(diǎn)，∠ADC=90°，
∴四邊形BCDE為矩形，∴EC=2，HB=

1

2

EC=1，
又∵M(jìn)H=

1

2

PE=

3

2

，
∴△MHB中，tan∠MBH=

MH

HB

=

3

2

，
∴直線BM與平面ABCD所成角的正切值為

3

2

．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知CD∥BE，
∴直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角，
連接ME，Rt△MHE中，ME=

7

2

，
Rt△MHB中，BM=

7

2

，又BE=CD=

3

，
∴△MEB中，cos∠MBE=

BM2+BE2-ME2

2BM•BE

=

7 4 +3- 7 4

2× 7 2 × 3

=

21

7

，
∴直線BM與CD所成角的余弦值為

21

7

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．