Question

【題目】已知兩個無窮數(shù)列和的前項和分別為， ， ， ，對任意的，都有．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若 為等差數(shù)列，對任意的，都有．證明： ；

（3）若 為等比數(shù)列， ， ，求滿足 的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：利用題目提供的 方面的關(guān)系，借助轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，證明出滿足等差數(shù)列定義，利用等差數(shù)列通項公式求出，進而得出， 成等差數(shù)列，寫出，根據(jù)恒成立，得出和公差的要求，比較的大小可采用比較法； 是以為首項， 為公比的等比數(shù)列，求出和，根據(jù)題意求出的值.

試題解析：

（1）由，得，

即，所以．

由， ，可知．

所以數(shù)列是以為首項， 為公差的等差數(shù)列．

故的通項公式為．

（2）證法一：設(shè)數(shù)列的公差為，則，

由（1）知， ．

因為，所以，即恒成立，

所以 即

又由，得，

所以

．

所以，得證．

證法二：設(shè)的公差為，假設(shè)存在自然數(shù)，使得，

則，即，

因為，所以．

所以，

因為，所以存在，當時， 恒成立．

這與“對任意的，都有”矛盾！

所以，得證．

（3）由（1）知， ．因為 為等比數(shù)列，且， ，

所以是以為首項， 為公比的等比數(shù)列．

所以， ．

則，

因為，所以，所以．

而，所以，即（*）．

當， 時，（*）式成立；

當時，設(shè)，

則，

所以．

故滿足條件的的值為和．