19．已知二次函數(shù)f（x）同時滿足下列三個條件：
（1）f（1+x）=f（1-x）；
（2）f（x）的最大值為16；
（3）方程f（x）=0的兩根的平方和等于18．求函數(shù)f（x）的解析式．

分析 由二次函數(shù)f（x）同時滿足下列兩個個條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為16；可設f（x）=a（x-1）2+16（a＜0）．又f（x）=0的兩根的平方和等于18．利用根與系數(shù)的關系即可得出a．

解答 解：由二次函數(shù)f（x）同時滿足下列兩個條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為16；
說明其對稱軸為x=1，拋物線開口向下．
可設f（x）=a（x-1）2+16（a＜0）．
化為f（x）=ax2-2ax+a+16，
設f（x）=0的兩個實數(shù)根為x1，x2．
∴x1+x2=2，x1x2=$\frac{a+16}{a}$．（*）
∵f（x）=0的兩根的平方和等于18，∴4-2•$\frac{a+16}{a}$=18，解得a=-2．
∴f（x）=-2（x-1）2+16．

點評 本題綜合考查了二次函數(shù)的對稱性、最值及其零點等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．

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A．1B．2C．3D．4

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