Question

10．△ABC中若面積sinA•cosB-sinB=sinC-sinA•cosC且周長(zhǎng)為12，則其面積最大值為108-72$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinA=sin（B+C），代入已知等式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，得到B+C=90°，即可確定出三角形的形狀．設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因?yàn)長(zhǎng)=a+b+c，a=$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$，兩次運(yùn)用均值不等式即可求解△ABC面積的最大值．

解答 解：∵sinA•cosB-sinB=sinC-sinA•cosC，
∴sinA（cosB+cosC）=sinB+sinC，
變形得：sin（B+C）（cosB+cosC）=sinB+sinC，
即（sinBcosC+cosBsinC）（cosB+cosC）=sinB+sinC，
展開得：sinBcosBcosC+sinCcos²B+sinBcos²C+sinCcosCcosB=sinB+sinC，
sinBcosBcosC+sinCcosCcosB=sinB（1-cos²C）+sinC（1-cos²B），
cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsin²C+sinCsin²B，即cosBcosC（sinB+sinC）=sinBsinC（sinB+sinC），
∵sinB+sinC≠0，
∴cosBcosC=sinBsinC，
整理得：cosBcosC-sinBsinC=0，即cos（B+C）=0，
∴B+C=A=90°，
設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為c、b，斜邊為a，則直角三角形的面積S=$\frac{1}{2}$cb．
由已知，得a+b+c=12，∴c+b+$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$=12，
∴12=c+b+$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{bc}$+$\sqrt{2bc}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{bc}$，
∴$\sqrt{bc}$≤$\frac{12}{2+\sqrt{2}}$=12-6$\sqrt{2}$，∴ab≤（12-6$\sqrt{2}$）²=216-144$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab≤108-72$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12-6$\sqrt{2}$時(shí)，S取最大值．
故答案為：108-72$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．