4．求證：$\sqrt{x}-\sqrt{x-1}＜\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}（x≥3）$．

分析 運用分析法證明．要證原不等式成立，由分子有理化可得$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，運用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：運用分析法證明．
要證$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-1}$＜$\sqrt{x-2}$-$\sqrt{x-3}$（x≥3），
即證$\frac{x-（x-1）}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}$＜$\frac{（x-2）-（x-3）}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}$，
即有$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}$＜$\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}$，
即為$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，
由x≥3，可得$\sqrt{x}$＞$\sqrt{x-2}$，$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-3}$，
即有上式成立．
綜上可得原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法和不等式的性質(zhì)，考查化簡和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知p：函數(shù)g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$的值域是[0，+∞）；q：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2+mx+1在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，若“p或q”為真命題，“p或q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．試用你學(xué)到的證明方法求證：已知a＞b＞0，m＞0，則$\frac{b+m}{a+m}＞\frac{a}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．設(shè)實數(shù)x，y滿足x+y-xy≥2，則|x-2y|的最小值為2$\sqrt{2}$-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．?dāng)?shù)列{an}前數(shù)列n項和Sn，已知${S_n}+{a_n}+n=0（n∈{N^*}）$恒成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{2{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{2^2}{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{2^n}{a_n}{a_{n+1}}}}＜2$．

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9．已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線AB與拋物線C交于點A，B（A在第一象限），與y軸交于點C，$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，若△OAB是銳角三角形，求直線AB斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．在伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$的作用后，直線y=2x變成直線（　�。�
A．y=4xB．y=$\frac{1}{2}$xC．y=xD．y=$\frac{1}{4}$x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．若x∈[0，+∞），則下列不等式不恒成立的是（　�。�
A．ex≥x+1B．ln（x+2）-ln（x+1）$＜\frac{1}{x+1}$
C．$\frac{2}{π}$x+cosx≥1+sinxD．cosx≥1-$\frac{1}{2}$x2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．2015年中國汽車銷售遇到瓶頸，各大品牌汽車不斷加大優(yōu)惠力度．某4S店在一次促銷活動中，讓每位參與者從盒子中任取一個由0～9中任意三個數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”（即個數(shù)數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字）．若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除，則可以享受5萬元的優(yōu)惠；若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和僅能被2整除，則可以享受3萬元的優(yōu)惠；其他結(jié)果享受1萬元的優(yōu)惠．
（1）試寫出所有個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”；
（2）若小明參加了這次汽車促銷活動，求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列及數(shù)字期望EX．

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同步練習(xí)冊答案