Question

14．2015年中國汽車銷售遇到瓶頸，各大品牌汽車不斷加大優(yōu)惠力度．某4S店在一次促銷活動(dòng)中，讓每位參與者從盒子中任取一個(gè)由0～9中任意三個(gè)數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”（即個(gè)數(shù)數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)字）．若“三位遞減數(shù)”中的三個(gè)數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除，則可以享受5萬元的優(yōu)惠；若“三位遞減數(shù)”中的三個(gè)數(shù)字之和僅能被2整除，則可以享受3萬元的優(yōu)惠；其他結(jié)果享受1萬元的優(yōu)惠．
（1）試寫出所有個(gè)位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”；
（2）若小明參加了這次汽車促銷活動(dòng)，求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列及數(shù)字期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用列出法能求出個(gè)位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”．
（2）由題意，不同的“三位遞減數(shù)”共有$C_{10}^3=120$個(gè)，小明得到的優(yōu)惠金額X的取值可能為5，3，1，由此能求出他得到的優(yōu)惠金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）個(gè)位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”有：
984，974，964，954，874，864，854，764，754，654，共10個(gè)．…（4分）
（2）由題意，不同的“三位遞減數(shù)”共有$C_{10}^3=120$個(gè)．…（5分）
小明得到的優(yōu)惠金額X的取值可能為5，3，1．
當(dāng)X=5時(shí)，三個(gè)數(shù)字之和的可能為20或10，
當(dāng)三個(gè)數(shù)字之和為20時(shí)，有983，974，965，875，共4個(gè)“三位遞減數(shù)”；
當(dāng)三個(gè)數(shù)字之和為10時(shí)，有910，820，730，721，640，631，541，532，共8個(gè)“三位遞減數(shù)”，
所以$P（X=5）=\frac{4+8}{120}=\frac{1}{10}$．…（7分）
當(dāng)X=3時(shí)，三個(gè)數(shù)字之和只能被2整除，
即這三個(gè)數(shù)字只能是三個(gè)偶數(shù)或兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，但不包括能被10整除的“三位遞減數(shù)”，
故$P（X=3）=\frac{C_5^3+C_5^2C_5^1-12}{120}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$．…（9分）
故$P（X=1）=1-P（X=5）-P（X=3）=1-\frac{1}{10}-\frac{2}{5}=\frac{1}{2}$．…（10分）
所以他得到的優(yōu)惠金額X的分布列為

X	5	3	1
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{2}$

…（11分）
數(shù)學(xué)期望$EX=5×\frac{1}{10}+3×\frac{2}{5}+1×\frac{1}{2}=2.2$（萬元）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．