Question

9．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線AB與拋物線C交于點(diǎn)A，B（A在第一象限），與y軸交于點(diǎn)C，$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，若△OAB是銳角三角形，求直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），求出p，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b（k，b＞0）代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，得x₁+2x₂=0，所以x₁=8k，x₂=-4k，要使△OAB是銳角三角形，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0，\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}＞0$，建立不等式，即可求直線AB斜率的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镕（0，1），所以p=2．     （2分）
故拋物線方程為x²=4y．       （4分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b（k，b＞0）代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4b=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．      （6分）
又$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}$，得x₁+2x₂=0，所以x₁=8k，x₂=-4k
所以${y_1}=16{k^2}$，${y_2}=4{k^2}$．           （8分）
要使△OAB是銳角三角形，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0，\overrightarrow{BO}•\overrightarrow{BA}＞0$，（10分）
即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}＞0}\\{{x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}＞0}\end{array}}\right.$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{64{k^4}-32{k^2}＞0}\\{48{m^4}-48{m^2}＜0}\end{array}}\right.$，得$\frac{1}{2}＜{k^2}＜1$（14分）
所以AB斜率的取值范圍$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜k＜1$．（15分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．