(1)若任意直線l過點(diǎn)F(0,1),且與函數(shù)f(x)=的圖象C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,分別過點(diǎn)A,B作C的切線,兩切線交于點(diǎn)M,證明:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,g(x)=alnx(a>o)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:,(其中e為無理數(shù),約為2.71828).
【答案】分析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分別求出在點(diǎn)A,B處的切線方程,求出兩切線的交點(diǎn)M的縱坐標(biāo),即可得到結(jié)論;
(2)令F(x)=f(x)-g(x),然后利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)的最小值,使F(x)的最小值大于等于0即可,從而求出a的取值范圍;
(3)由(2)可知,取a=  化簡得:,再變形得:,然后利用疊加法,以及裂項(xiàng)求和法可證得結(jié)論.
解答:證明:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知AB的斜率必存在  設(shè)AB:y=kx+1代入y=
得  x2-4kx-4=0∴x1x2=-4
∵f(x)=∴f′(x)=
∴kAM=,kBM=,
∴AM:y-=(x-x1),
化簡得:AM:y=x-
同理:BM:y=x-,解得:y==-1
(2)令:F(x)=f(x)-g(x)=(a>0,x>0),
∴F′(x)==
令 F′(x)=0 得:x= 
所以 當(dāng)x∈(0,)時(shí)F′(x)<0   即F(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減;
所以 當(dāng)x∈(,+∞)時(shí)F′(x)>0即即F(x)在區(qū)間(,+∞)上單調(diào)遞增;
∴y=F(x)在x=時(shí)取得最小值,要f(x)≥g(x)恒成立,只要F()≥0
即 ,解得a≤
(3)由(2)可知,取a=  化簡得:
變形得:

)=(1-+-+…+-)=(1-)<
點(diǎn)評:本題主要考查了恒成立問題,以及不等式的證明和裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青島一模)若任意直線l過點(diǎn)F(0,1),且與函數(shù)f(x)=
1
4
x2
的圖象C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B過點(diǎn)A,BC,兩切線交于點(diǎn)M
(Ⅰ)證明:點(diǎn)M縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x),g(x)=alnx(a>0),求實(shí)數(shù)a取值范圍;
(Ⅲ)求證:
2ln2
22
+
2ln3
32
+
2ln4
42
+…+
2ln
n2
n-1
e
,(其中e自然對數(shù)的底數(shù),n≥2,n∈N).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)若任意直線l過點(diǎn)F(0,1),且與函數(shù)f(x)=
1
4
x2
的圖象C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,分別過點(diǎn)A,B作C的切線,兩切線交于點(diǎn)M,證明:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,g(x)=alnx(a>o)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:
ln24
24
+
ln34
34
+
ln44
44
+…
lnn4
n4
2
e
,(其中e為無理數(shù),約為2.71828).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

若任意直線l過點(diǎn)F(0,1),且與函數(shù)數(shù)學(xué)公式的圖象C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B過點(diǎn)A,BC,兩切線交于點(diǎn)M
(Ⅰ)證明:點(diǎn)M縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x),g(x)=alnx(a>0),求實(shí)數(shù)a取值范圍;
(Ⅲ)求證:數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,(其中e自然對數(shù)的底數(shù),n≥2,n∈N).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(1)若任意直線l過點(diǎn)F(0,1),且與函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式的圖象C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,分別過點(diǎn)A,B作C的切線,兩切線交于點(diǎn)M,證明:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,g(x)=alnx(a>o)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:數(shù)學(xué)公式,(其中e為無理數(shù),約為2.71828).

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