Question

（1）若任意直線l過點F（0，1），且與函數(shù)f（x）=的圖象C交于兩個不同的點A，B，分別過點A，B作C的切線，兩切線交于點M，證明：點M的縱坐標(biāo)是一個定值，并求出這個定值；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，g（x）=alnx（a＞o）求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：，（其中e為無理數(shù)，約為2.71828）．

Answer 1

證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知AB的斜率必存在 設(shè)AB：y=kx+1代入y=
得 x²-4kx-4=0∴x₁x₂=-4
∵f（x）=∴f′（x）=
∴k_AM=，k_BM=，
∴AM：y-=（x-x₁），
化簡得：AM：y=x-
同理：BM：y=x-，解得：y==-1
（2）令：F（x）=f（x）-g（x）=（a＞0，x＞0），
∴F′（x）==
令 F′（x）=0 得：x=
所以 當(dāng)x∈（0，）時F′（x）＜0 即F（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減；
所以 當(dāng)x∈（，+∞）時F′（x）＞0即即F（x）在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增；
∴y=F（x）在x=時取得最小值，要f（x）≥g（x）恒成立，只要F（）≥0
即 ，解得a≤
（3）由（2）可知，取a=有≥ 化簡得：
變形得：
∴＜（）
＜（）=（1-+-+…+-）=（1-）＜
分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別求出在點A，B處的切線方程，求出兩切線的交點M的縱坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究F（x）的最小值，使F（x）的最小值大于等于0即可，從而求出a的取值范圍；
（3）由（2）可知，取a=有≥ 化簡得：，再變形得：，然后利用疊加法，以及裂項求和法可證得結(jié)論．
點評：本題主要考查了恒成立問題，以及不等式的證明和裂項求和法的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．