Question

14．近兩年雙11網(wǎng)購受到廣大市民的熱捧．某網(wǎng)站為了答謝老顧客，在雙11當(dāng)天零點整，每個金冠買家都可以免費抽取200元或者500元代金券一張，中獎率分別是$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$．每人限抽一次，100%中獎．小張，小王，小李，小趙四個金冠買家約定零點整抽獎．
（I）試求這4人中恰有1人抽到500元代金券的概率；
（Ⅱ）這4人中抽到200元、500元代金券的人數(shù)分別用X、Y表示，記ξ=XY，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“這4人中恰有i人抽到500元代金券”為事件A_i，由此利用n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式能求出這4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．
（2）由已知ξ可取0，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“這4人中恰有i人抽到500元代金券”為事件A_i…..…（1分）
$P（{A_1}）=C_4^1{（{\frac{1}{3}}）^1}{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{32}{81}$…（4分）
（2）由已知ξ可取0，3，4…．（5分）
$P（{ξ=0}）=P（{A_0}）+P（{A_4}）=C_4^0{（{\frac{1}{3}}）^0}{（{\frac{2}{3}}）^4}+C_4^4{（{\frac{1}{3}}）^4}{（{\frac{2}{3}}）^0}=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$，
$P（{ξ=3}）=P（{A_1}）+P（{A_3}）=C_4^1{（{\frac{1}{3}}）^1}{（{\frac{2}{3}}）^3}+C_4^3{（{\frac{1}{3}}）^3}{（{\frac{2}{3}}）^1}=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$，
$P（{ξ=4}）=P（{A_2}）=C_4^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$…．（9分）
ξ分布列：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

…．（11分）
$E（ξ）=0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}=\frac{8}{3}$…．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．