Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若a=2，b=$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用誘導(dǎo)公式，兩角和差的余弦公式，求得tanB的值，可得B的值．
（Ⅱ）求得sinB、cosB的值，利用正弦定理求得sinA的值，可得cosA的值，從而求得sinC=sin（A+B）的值，進而求得△ABC的面積$\frac{1}{2}$ab•sinC的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
即有sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
因為sinA≠0，所以sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，又cosB≠0，
所以tanB=$\sqrt{3}$，又0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosB=\frac{1}{2}$，∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{{\sqrt{7}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$，又a=2，
∴$sin{A_{\;}}=\frac{3}{{\sqrt{21}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，∵a＜b，∴$cos{A_{\;}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
∴$S=\frac{1}{2}absin{C_{\;}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式，兩角和差的余弦公式，正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．