Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，M，N分別為BC和PB的中點(diǎn)．．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）求四面體M-AND的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC，由四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，得△ABC是等邊三角形，再由M是BC中點(diǎn)，得AM⊥BC，由已知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC，在線面垂直的判定得BC⊥平面PMA，從而得到平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）由已知直接利用等積法求得四面體M-AND的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，
∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴AM⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，
∴BC⊥平面PMA．
∴平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）解：∵四邊形ABCD是菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，
∴${V}_{M-AND}={V}_{N-AMD}=\frac{1}{3}{S}_{△AMD}×\frac{1}{2}PA$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×ABsin60°×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．